Método da Posição Falsa
Zero de função
M.P.F.
É um método numérico utilizado para encontrar raízes de funções contínuas. usando intervalos onde a função muda de sinal. Ele combina a ideia do método da bissecção (garantia de raiz) com uma aproximação linear semelhante ao método da secante
Fórmula do \( x_k \)
A cada iteração \( k \), o ponto \( x_k \) é calculado como a média dos extremos do intervalo atual: \[ x_k=\frac{af(b)-bf(a)}{f(b)-f(a)}=\frac{bf(a)-af(b)}{f(a)-f(b)} \] onde \( a_k \) e \( b_k \) são os extremos do intervalo na iteração \( k \).
Fórmula do erro
O erro, ε , em cada iteração é reduzido pela metade, e o erro total
após \( k \) iterações é dado por:
\[ \epsilon_k = \frac{|x_k - x_{k-1}|}{|x_k|}} \]
ou, ainda por: \[ |f(x_k)| \leq \varepsilon \]
onde \( a_0 \) e \( b_0 \) são os extremos do intervalo inicial.
Tabela do método
Geralmente o método é apresentado por meio de uma tabela, onde temos os valores de
k, a, f(a) , b,
f(b) , xk, sinal de f(xk),
f(xk) e ε. Da seguinte forma (ou similar):
Onde temos: A função, \( f(x) = x.ln(x)-1 \), o intervalo, \([a , b] = [1 , 2] \), o erro, \( \epsilon \leq 0.1 \) e a função sinal \( s(f(x)) \)
Atenção: Na função sinal temos: i) se f(x) é postivo: s(f(x)) = 1, e, ii)
se f(x) é negativo: s(f(x)) = -1.
Lembre-se: Neste método s(f(a)) e s(f(b)) devem ter sinais trocados.
Esse método garante que, ao final das iterações, o valor calculado para a raiz está dentro do erro desejado.